Estabilidad y dinámica de modos ópticos en estructuras no lineales, helicoidales y PT-simétricas

Dr. Claudia Castro Castro
2 de Diciembre del 2020

Seminario “Dr. Alberto Rubio” Facultad de Ciencias UABC

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Índice

  • Introducción
    • Definición de onda
    • Antecedentes
    • Fibras ópticas
    • Fenómenos ópticos lineales vs no lineales
    • Ecuaciones de Maxwell
    • ¿Qué significa PT-simétrico?
    • ¿Qué significa torcido?
  • Ecuación de Schrödinger
  • Dinámica y estabilidad
  • Conclusiones

Definición intuitiva de onda

    Cualquier señal reconocible que se transfiere de una parte del medio a otra con una velocidad de propagación reconocible
Whitham, G. B., “Linear and nonlinear waves”, Ed. John Wiley & Sons, 1974

Antecedentes

1790s: “Telégrafo óptico” inventado por Claude Chappe Telegrafo optico y sus simbolos

Courtesía de Wikipedia Commons

Luz guida en chorros de agua

  • 1840s: Daniel Collodon y Jacques Babinet demostraron que la luz podía guiarse a través de chorros de agua para exhibiciones de fuentes.

  • Cuando los rayos de luz en el agua golpean el borde del chorro con un ángulo, la reflexión interna total los atrapa en el líquido.

  • Refracción en la superficie depende de la diferencia en el índice de refracción; cuanto mayor es la diferencia, más refracción
Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics Oxford University Press, 1999

Reflexión interna total (TIR)

  • Es un efecto secundario de la refracción, la curvatura de la luz que pasa de un material transparente a otro.
Refraction de vidrio a aire

Courtesía de Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics, 1999


  • Índice de refracción \[ n=\frac{\text{velocidad de la luz en el vacio}}{\text{velocidad en el material}} \]

  • Ley de Snell \[ n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} \]

  • Resposable por
Lente de faro Fresnel

Flor de loto de cristal

Total Internal Reflections in Diamond

Courtesía de Wikimedia Commons

Reflexión interna total (TIR)

Luz guida en chorros de agua

Courtesía de Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics, 1999

  • La luz que golpea la superficie casi directamente se refracta en el aire
  • Hay un ángulo crítico donde no puede emerger al aire, se mide a partir de una línea llamada normal que es perpendicular a la superficie.
  • Si \( \theta_1 > \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \) \( \Rightarrow \sin \theta_2 > 1 \;\;(!) \)
  • La luz fuera del ángulo crítico se refleja de nuevo en el cristal.
  • ángulo crítico \( \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \) existe solo cuando \( n_2 < n_1 \), entonces TIR ocurre solo dentro del medio con índice más alto
Demonstration of Total-Internal-Reflection(TIR) in a wine glass

Courtesía de Keerthi, CC BY 4.0 via Wikimedia Commons

Inicios de las fibras ópticas

  • Generaciones de artesanos, inventores, ingenieros y científicos desarrollaron la tecnología para hacer vidrio
    • Es maleablecuando está caliente, así como la transparencia del sólido, lo que lo ha convertido en un material atractivo.
    • El ingrediente más importante del vidrio común es el dióxido de silicio, un mineral duradero conocido como Sílice/Silica.
  • 1930s: Heinrich Lamm (médico) primera persona conocida que ha demostrado la transmisión de imágenes a través de un arreglo de fibras ópticas
    • Sin embargo, las fibras descubiertas transmitían imágenes de manera deficiente.
  • 1950s: Van Heel y O'Brien recubren una fibra descubierta con un material de índice menor mantendría la TIR mientras protege la superficie óptica
    • Fibras revestidas de vidrio tenían una atenuación de aproximadamente un decibel por metro (dB/m), lo que está bien para imágenes médicas, pero demasiado alto para comunicaciones.
Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics Oxford University Press, 1999

Características de las fibras ópticas

Esquema de fibra optica dielectric y el perfil de indices de refraccion

Agrawal G., Nonlinear fiber optics, Academic Press, 2013

Características de las fibras ópticas

Esquema de fibra optica multi-nucleo

Courtesía de ..

Esquema de un arreglo 2D

Pertsch et al. Nonlinearity and disorder in fiber arrays. Physical Review letters, 2004

Esquema de un arreglo 2D

Joannopoulos et al. Photonic crystals: molding the flow of light. Princeton University Press, 2011.

Ecuaciones de Maxwell

La luz es una onda electro-magnética que consiste de un campo eléctrico y un campo magnético oscilando a una taza muy alta (\( 10^{14} \) Hz) viajando en el espacio con una dirección perpendicular a ambos campos vectoriales

  • \[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{E}=&-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\\ \nabla\times\mathbf{H}=&\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf{D}=&\rho_{v}\\ \nabla\cdot\mathbf{B}=&0 \end{align} \]

  • \( \mathbf{E} \) campo eléctrico [\( V/m \)]
    \( \mathbf{B} \) densidad de flujo magnético [\( T \)]
    \( \mathbf{H} \) campo magnético [\( A/m \)]
    \( \mathbf{D} \) densidad de flujo eléctrico [\( C/m^2 \)]
    \( \mathbf{J} \) densidad de corriente eléctrica [\( A/m^2 \)]

  • \( \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} \)
    \( \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \)
    \( \mathbf{J}=\sigma \mathbf{E} \)

    Ecuación de onda

  • El campo vectorial eléctrico satisface la ecuación de onda \[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{r},t) }{\partial t^2}=0 \]
  • Esta ecuación es invariante w. r. t. tiempo \( t\rightarrow -t \)
Wartak, Computational photonics, Cambridge Univeristy Press, 2013

Óptica lineal vs no lineal

  • Lineal : las ondas electromagnéticas inducen una separación de las cargas en el material, es decir, una polarización \( P_L \), la cual es directamente proporcional al campo eléctrico \[ P = \varepsilon_0 \chi^{(1)} E \] donde \( \varepsilon_0 \) es la permitividad del vacío y \( \chi^{(1)} \) es la constante de susceptibilidad.
  • Interacción de la luz con la materia no modifica las propiedades de onda
  • Ejemplos de fenómenos ópticos lineales:
Reflejo de un gato en un espejo

Reflexión

Ejemplos de fenómenos ópticos lineales

Refracción

Lentes photocromaticos

Photocromia

  • \( \diamond \) Linealidad es una suposición que solo es válida para bajas intensidades

  • \( \diamond \) Casi todos los materiales tienen algunos efectos no lineales si la fuente de luz solo es lo suficientemente potente altas intensidades
Source

Óptica no lineal

  • No lineal: describe el comportamiento de la luz en medios en cual el componente dieléctrico de la polarización responde a la forma no lineal del campo eléctrico de la luz \( E \) \[ P=\varepsilon_0 \chi^{(1)}E + \varepsilon_0 \chi^{(2)}E^2 + \varepsilon_0 \chi^{(3)}E^3+\dots \]
  • 2nd order susceptibility \[ \chi^{(2)} \approx 1.94\times10^{-12}\;m/V \]
  • 3rd order susceptibility\[ \chi^{(3)} \approx 3.78\times10^{-24}\;m^2/V^2 \]
  • Para fibras de sílice \( SiO_2 \) el effecto de segundo orden es despreciable
  • \( \chi^{(3)} \) está asociada al effecto Kerr
  • Polarizacion total: lineal + no lineal \[ P(\omega) = \varepsilon_0 \chi^{(1)}E(\omega)+3\varepsilon_0\chi^{(3)}|E(\omega)|^2E(\omega) \]
  • Effective susceptibility \[ \chi_{eff} = \chi^{(1)}+3\chi^{(3)}|E(\omega)|^2 \]
  • Está ligada al índice de refracción \[ \bar{n} = 1+\chi^{(3)}=\bar{n}_0 +\bar{n}_2\;I \]

Óptica no lineal: effecto Kerr

  • Descubierta por John Kerr en 1875
  • Describe situaciones donde el índice de refracción depende de el campo eléctrico como \[ \bar{n}(\omega, |E|^2)=\bar{n}_0(\omega) + \bar{n}_2(\omega)|E|^2 \]
  • Para sílice es \( 1.3\times10^{-22}\; m^2/V^2 \)

Dispersión

Derivación de la ecuación de Schrödinger

  • En medio Kerr el índice de refracción depende de la intensidad del campo eléctrico \( I(t) \) \[ \bar{n}(t)=\bar{n}_0 + \bar{n}_2 I(t), \;\;\;I(t)=2\bar{n}_0\varepsilon_0 c |A(z,t)|^2 \]
  • y \[ E(z,t)=A(z,t)e^{i(\omega_0 t-\beta _0 z)} \]
  • Aplicando transformada de Fourier del campo optico \[ E(z,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega)e^{i(\omega t - \beta z)} \;d\omega \]
  • Considerar la expansion de Taylor de la constante de propagacion \[ \beta(\omega) = \beta_0 + \beta _1 (\omega - \omega_0 )+\frac{1}{2}\beta_2 (\omega - \omega_0)^2 + \Delta \beta_{NL} \]
  • Sustituir \[ \begin{align} E(z,t)=&e^{-i\beta_0 z}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega)e^{i\omega t - i\beta_1 z \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 z \Delta \omega^2-iz\Delta\beta_{NL} } \;d(\Delta\omega)\\ =&e^{i(\omega_0t-\beta_0 z)}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)e^{it\Delta\omega-i\beta_1 z \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 z \Delta \omega^2-iz\Delta\beta_{NL}} \;d(\Delta\omega)\\ \equiv&e^{i(\omega_0 t-\beta _0 z)} A(z,t) \end{align} \]
Wartak, Computational photonics, Cambridge Univeristy Press, 2013

Parity-Time table

Parity-Time table

  • Quantum Mechanics Optics
    Schrödinger equation Paraxial equation
    \( i\hslash\frac{\partial\Psi}{dt}+\frac{h^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-V\left(x\right)\Psi=0 \) \( i\lambda\frac{\partial E}{\partial z}+\frac{\lambda^{2}}{2}\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}+n\left(x\right)E=0 \)
    time propagation distance
    \( t \) \( z \)
    Plank’s constant Wavelength
    \( \hslash \) \( \lambda=\frac{1}{k} \)
    Probability amplitude Electric field envelope
    \( \Psi\left(x,t\right) \) \( E\left(x,z\right) \)
    Complex potential Complex refraction
    \( V\left(x\right)=V_{R}\left(x\right)+iV_{I}\left(x\right) \)\( \Psi\left(x,t\right) \) \( n\left(x\right)=n_{R}\left(x\right)+in_{I}\left(x\right) \)

Fibras helicoidales de multi núcleo

Esqueme de una fibra óptica torcida

Fibra optica torcida

Esqueme de una fibra optica torcida

Fibra óptica torcida

Gauss's Magnetism Law